这一发明早于欧洲约七百余年

　　《梦溪笔谈》讨论了垛积问题，发展了《九章算术》以来的等差级数，建立了隙积术，其实质是解决了高阶等差级数的求和问题。书中还探讨了会圆术，沈括从计算田亩出发，考察了圆弓形中弧、弦和矢之间的关系，得出了新的弓形面积的近似公式。隙积术和会圆术的建立，为中国古代数学的发展开辟了新的方向，为此日本数学家三上义夫曾给予沈括以极高的评价。

　　《梦溪笔谈》中记载有关于光的直线传播，沈括在前人的基础上，有更加深刻的理解。为说明光是沿直线传播的这一性质。他在纸窗上开了一个小孔，使窗外的飞鸟和楼塔的影子成像于室内的纸屏上面进行实验。根据实验结果，他生动的指出了物、孔、像三者之间的直线关系。此外，沈括还运用光的直线传播原理形象的说明了月相的变化规律和日月蚀的成因。在《梦溪笔谈》中，沈括还对凹面镜成像、凹凸镜的放大和缩小作用作了通俗生动的论述。他对我国古代传下来的所谓“透光镜”的透光原因也作了一些科学解释，推动了后来对“透光镜”的研究。

　　《梦溪笔谈》记述了沈括对浙江雁荡山、陕北黄土高原地貌地质的考察，明确提出了流水侵蚀作用说。该书还通过对化石的讨论来论证古今气候变化，对矿石资源亦有涉及，指出江西铅山山涧水中有胆矾，可以炼铜;发现陕北的石油可以用于照明和制墨(卷二十四)。在地图制作方面，记述了沈括以熔蜡和木屑制作立体地图的发明，这一发明早于欧洲约七百余年。书中对地图制做中州县相对方位的描述，由传统8个方位增至24个方位，同时特别重视对两地间直线距离——“鸟飞之数”的测量，使州县相对位置更为可靠。

　　沈括在《梦溪笔谈》中精心设计了一个声学共振实验。他剪了一个纸人，把它固定在一根弦上，弹动和该弦频率成简单整数比的弦时，它就振动使纸人跳跃，而弹其它弦时，纸人则不动。沈括把这种现象叫做“应声”。用这种方法显示共振是沈括的首创。在西方，直到十五世纪，意大利人才开始做共振实验。至今，在某些国家和地区的中学物理课堂上，教师还使用这个方法给学生做关于共振现象的演示实验。

　　　声学

　　生物医学

　　　光学

　　《梦溪笔谈》记述了算家所谓的“格术”，沈括以之解释小孔和凹面镜成像，开辟了“格术光学”这一光学新领域。沈括对透光镜的研究，思考缜密，多有可采之处。另外，沈括还讨论了指南针的不同安装方法，记录了“以磁石磨针锋”的指南针人工磁化方法及指南针“常微偏东，不全南也”的现象(卷二十四)，从而肯定了地磁偏角的存在。在声学方面，《梦溪笔谈》记述的沈括在琴弦上贴小纸人，以验证声音共振现象的发明，比欧洲类似的发明要早约七百年。

　　地质地理

　　沈括曾经制造过我国古代观测天文的主要仪器——浑天仪;表示太阳影子的景表等。为了测得北极星准确位置，他连续三个月，每天用浑天仪观测北极星位置，把初夜、中夜、后夜所见到的北极星方位，分别画于图上，经过精心研究，最后得出北极星与北极距三度。

　　《梦溪笔谈》对生物医学知识也多有记述，且大都观察准确，记录详实，能够从实际出发，辨别真伪，补正古书之不足。

　　数学

　　　物理学